플랑크 질량

1. 개요2. 유도3. 상세

1. 개요 [편집]

c

\hbar

, 중력 상수

G

를 이용하여 차원 분석을 통해, 질량 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1] 인위적으로 조합된 질량이다.

m_{\rm P}

로 나타내며[2] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.

\begin{aligned} m_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c}G} &= 2.176\,434(24)\times10^{-8}\rm\,kg \\ &= 1.220\,890(14)\times10^{19}{\rm\,GeV}/c^2\end{aligned}

c

,

\hbar

,

G

의 단위 및 차원은 다음과 같다.

물리 상수	단위 SI 기본 단위 표기	차원
$c$	$\rm m\!\cdot\!s^{-1}$	$\sf LT^{-1}$
$\hbar$	$\begin{matrix}\rm J\!\cdot\!s\!\cdot\!rad^{-1} \\ \begin{aligned}&= \rm(kg\!\cdot\!m^2s^{-2})\!\cdot\!s\!\cdot\!rad^{-1} \\&=\rm kg\!\cdot\!m^2s^{-1}rad^{-1}\end{aligned}\end{matrix}$	$\sf ML^2T^{-1}$
$G$	$\begin{matrix}\rm N\!\cdot\!m^2kg^{-2} \\ \begin{aligned}&= \rm(kg\!\cdot\!m\!\cdot\!s^{-2})m^2kg^{-2} \\&=\rm kg^{-1}m^3s^{-2}\end{aligned}\end{matrix}$	$\sf M^{-1}L^3T^{-2}$

위 상수들을 조합해서 계산해보면

\dfrac{\hbar c}G

의 차원이

\sf M^2

이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량

m_{\rm P}

는 이 식에 근호를 씌운 값

\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}

로 정의된다.

밀리그램으로 환산하면 약

0.02\rm\,mg

이다. ~~"플랑크" 이름이 붙은 것치곤 굉장히 흔해 보인다~~[3]

천문학에서는 플랑크 길이

l_{\rm P}

r_{\rm S}

와 더불어 중요한 물리 상수로 간주되는데, 블랙홀의 질량

m

에 대해

r_{\rm S} = \dfrac{2Gm}{c^2}

이므로

m=m_{\rm P}

일 경우,

r_{\rm S} = \dfrac{2Gm_{\rm P}}{c^2} = \dfrac{2G}{c^2}\sqrt{\dfrac{\hbar c}G} = 2\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 2l_{\rm P}

즉 플랑크 길이의 2배가 슈바르츠실트 반지름이 되기 때문이다. 나아가 콤프턴 파장

\lambda_{\rm C}

는

\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc}

이므로

m=m_{\rm P}

인 블랙홀의

\lambda_{\rm C}

는

\lambda_{\rm C} = \dfrac h{m_{\rm P}c} = \dfrac{2\pi\hbar}{\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}c} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 2\pi l_{\rm P}

즉 플랑크 길이의

2\pi

배가 된다. 여담으로 플랑크 상수

h

와 디랙 상수(환산 플랑크 상수)

\hbar

의 관계처럼

\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C} = \dfrac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \dfrac1{2\pi}\dfrac h{mc} = \dfrac{\hbar}{mc}

를 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 하며, 위 결과를 바꿔 말하자면 질량이 플랑크 질량인 블랙홀에서는 환산 콤프턴 파장 = 플랑크 길이라는 결론이 나온다.

[1] 즉 플랑크 질량은 그 자체로 차원이

\sf M

인 물리 상수이다.[2] 양성자의 정지 질량을 나타내는

m_{\rm p}

와의 혼동에 주의. 이쪽은 아래첨자가 소문자(

\rm p

)다.[3] 실제로 비타민D의 일일 권장량이 0.5 플랑크 질량 정도이다.